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Du hast die drei binomischen Formeln gerade verstanden und plötzlich heißt es: “Es gibt noch mehr!”. Dann behandelt ihr im Matheunterricht wahrscheinlich gerade die binomische Formel hoch 3.
Damit du für den Unterricht und die nächste Klausur perfekt vorbereitet bist, zeigen wir dir…
- … wie die binomische Formel hoch 3 aussieht
- … wie man diese Formel herleitet
- … Aufgaben inklusive Lösungen
Bereit fürs rechnen mit höheren Exponenten? Dann lasst uns gleich starten!
Wie lautet die binomische Formel mit Exponenten 3?
Wenn man im Matheunterricht binomische Formeln drannimmt, sind es üblicherweise erstmal die drei mit dem Exponenten 2.
Die binomischen Formeln:
- Binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- Binomische Formel: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
- Binomische Formel: (a + b) · (a – b) = a2 – b2
Diese dienen auch als Grundlage für die binomischen Formeln mit höherem Exponenten. Auch das Lösen der Formeln hoch 3 ähnelt dem der Formeln hoch 2.
Sobald eine binomische Formel den Exponenten 3 hat, handelt es sich um eine binomische Formel hoch 3.
So sehen die binomischen Formeln hoch 3 aus:
- (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Binomische Formeln hoch 3 Schritt für Schritt herleiten
Jetzt wo wir wissen, wie die binomische Formel hoch 3 am Ende aufgelöst aussieht, klären wir, wie man dahin kommt.
1. Ausgangsform: ( a + b )3
Die Formel kann in ihre drei Einzelteile zerlegt werden und sieht dann so aus:
2. (a + b) · (a + b) · (a + b)
Wenn du nun zwei der drei (a + b)-Terme zusammenfügt, sieht das so aus:
3. (a + b) · (a + b)2
Wie du erkennen kannst, entspricht der hintere Teil der Gleichung genau der 1. binomischen Formel. Da wir wissen, wie diese aufgelöst aussieht, können wir das direkt hier anwenden:
4. (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
Nun multiplizieren wir das a und das b aus dem (a + b)-Term mit jedem Buchstaben aus dem zweiten Teil der Gleichung. Dieses entspricht also genau dem Vorgehen, wie bei dem Lösen der klassischen binomischen Formeln:
5. (a · a2) + (a · 2ab) + (a · b2) + (b · a2) + (b · 2ab) + (b · b2)
Nun können wir die Buchstaben in den Klammern zusammenfassen, wo es doppelte Buchstaben gibt:
6. a3 + (2a2b) + (ab2) + (ba2) + (2ab2) + b3
Zum Schluss lässt sich die Gleichung noch weiter zusammenfassen: Die zwei Terme mit dem a2 zusammen und die zwei Terme mit dem b2. Das sieht dann so aus:
7. a3 + 3a2b + 3b2a + b3
Wie du sicher erkennst, entspricht das genau der binomischen Formel hoch 3, die wir dir oben gezeigt haben. Wir sind also fertig mit der Herleitung!
Dieses Vorgehen lässt sich natürlich auch für die zweite binomische Formel hoch 3 wiederholen. Schau es dir hier gerne mit den 7 bekannten Schritten an:
Wie man an der Herleitung sehen kann, wird nicht die 1. Binomische Formel benutzt, sondern die 2..
4 Beispiele für binomische Formeln hoch 3
Soweit die Theorie, kommen wir nun zu konkreten Zahlenbeispielen für binomische Formeln mit dem Exponenten 3.
Beispiel 1: (x + 3)³
Erinnern wir uns zuerst mal an das was wir brauchen: die binomische Formel hoch 3
a3 + 3 · a² · b + 3·b² · a + b3
Das x setzen wir dann für alle a und die 3 für b ein. Damit das einfacher nachzuvollziehen ist, haben wir dir hier nochmal alles farblich markiert.
a3 + 3 · a² · b + 3·b² · a + b3
x3 + 3 · x² · 3 + 3 · 3² · x + 33
Dann muss man das Ganze nur noch zusammenfassen und ist auch schon fertig. Auch hier kannst du dich an der farblichen Markierung orientieren, um zu sehen wie sich die Terme zusammenfassen lassen.
x3 + 3 · x² · 3 + 3 · 3² · x + 33
x3 + 9x2 + 27x + 27
Beispiel 2: (2x + 2y)3
Auch hier suchen wir uns erstmal wieder die passende Binomische Formel heraus:
a3 + 3 · a² · b + 3·b² · a + b3
Dann setzen wir wieder richtig ein: 2x für alle a und die 2y für alle b
a3 + 3 · a² · b + 3·b² · a + b3
(2x)3 + 3 · (2x)² · (2y) + 3 · (2y)² · (2x) + (2y)3
Dann muss man das Ganze nur noch zusammenfassen und ist auch schon fertig:
(2x)3 + 3 · (2x)² · (2y) + 3 · (2y)² · (2x) + (2y)3
= 23x3 + 3 · 2² · x² · 2y + 3 · 2x · 2² · y2 + 23 · y3
= 8x3 + 24x2y + 24xy2 + 8y3
Beispiel 3: (x – 2)3
Auch hier müssen wir erstmal die richtige binomische Formel identifizieren. Dieses Mal ist es die zweite:
a3 – 3 · a² · b + 3·b² · a – b3
Dann setzen wir wieder richtig ein: x für alle a und die 2 für alle b
a3 – 3 · a² · b + 3·b² · a – b3
x3 – 3 · x² · 2 + 3·2² · x – 23
Dann muss man das Ganze nur noch zusammenfassen und ist auch schon fertig:
x³ – 3 · x² · 2 + 3·2² · x – 2³
= x³ – 6x² + 12x – 8
Beispiel 4: (3x – 2y)3
Auch hier suchen wir uns erstmal wieder die passende Binomische Formel heraus:
a3 – 3 · a² · b + 3·b² · a – b3
Dann setzen wir wieder richtig ein: 3x für alle a und die 2y für alle b
a3 – 3 · a² · b + 3·b² · a – b3
(3x)3 – 3 · (3x)² · (2y) + 3 · (2y)² · (3x) – (2y)3
Dann muss man das Ganze nur noch zusammenfassen und ist auch schon fertig:
(3x)3 – 3 · (3x)² · (2y) + 3 · (2y)² · (3x) – (2y)3
= 33x3 + 3 · 3² · x² · 2y + 3 · 3x · 2² · y2 + 23 · y3
= 27x3 – 54x2y + 36xy2 – 8y3
Hinweis: Wenn eine Zahl vor der unbekannten Variable steht, gilt der Exponent für die Zahl und die Variable (z. B.: 2x -> (2x)3 = 8x3).
Höhere Exponenten – Binomische Formeln hoch 4 und 5
Wie du das aus dem Matheunterricht sicher kennt, gibt es immer mehr, was man lernen kann. So ist auch bei den binomischen Formeln hoch 3 noch nicht Schluss.
Es kann gut sein, dass du im Matheunterricht noch auf binomische Formeln mit den Exponenten 4 und 5 triffst.
Hinweis: Die Exponenten bei binomischen Formeln können auch noch höher sein. Dieses ist für den Matheunterricht in der Schule aber eher von geringerer Bedeutung.
Auch wenn die Herleitung bei den höheren Exponenten komplizierter ist, gleicht die Vorgehensweise der bei den binomischen Formeln hoch 3.
Binomische Formel hoch 4
(a + b)4
= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a – b)4
= a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
Binomische Formel hoch 5
(a + b)5
= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a – b)5
= a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5
Binomische Formeln – 3 Übungsaufgaben
Quiz
Fangen wir an mit der Theorie. Mit diesen Fragen kannst du dein Wissen zu binomischen Formeln testen.
Ergebnisse
#1. Wie lautet die binomische Formel hoch 3 (inklusive Endergebnis)?
#2. Welche binomische Formel dient als Basis für die Herleitung von (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³?
#3. Welche binomische Formel dient als Basis für die Herleitung von (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³?
#4. Was ist ein Binom?
Rechenaufgaben
Nun bist du an der Reihe, die binomischen Formeln anzuwenden. Schnapp dir Papier und Stift und schon kann es losgehen!
Natürlich haben wir auch Lösungen für dich bereitgestellt, um deine gelösten Aufgaben zu kontrollieren. Drücke dafür einfach auf das +.
Teil 1: Terme mit unbekannten Variablen x und y.
1. (4x + 3)³
64x3 + 144x2 + 108x +27
2. (3x + 3y)³
27x3 + 81x2y + 81xy2 + 27y3
3. (x + 2y)³
x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
4. (2x - 2y)³
8x3 – 24x2y + 24xy2 – 8y3
5. (5x - y)³
125x3 – 75x2y + 15xy2 – y3
6. (3 - y)³
27 – 27y + 9y2 – y3
Teil 2: Löse die Aufgaben ohne Taschenrechner und nur mit der Hilfe der binomischen Formeln.
1. (3 + 3)³
216
2. (2 + 2)³
64
3. (2 - 1 )³
1
4. (3 - 1 )³
8
Weitere Übungen haben wir für dich auch als PDF bereitgestellt, damit du sie dir für später ausdrucken kannst.
FAQ
Herleitung: Binomische Formel hoch 3 mit +
- (a+b)³
- (a+b) · (a+b) · (a+b)
- (a+b) · (a+b)²
- (a+b) · (a² + 2ab + b²)
- (a · a²) + (a · 2ab) + (a · b²) + (b · a²) + (b · 2ab) + (b · b²)
- a³ + (2a²b) + (ab²) + (ba²) + (2ab²) + b³
- a³ + 3a²b + 3b²a + b³
Herleitung: Binomische Formel hoch 3 mit –
- (a – b)3
- (a – b) · (a – b) · (a – b)
- (a – b) · (a – b)2
- (a – b) · (a2 – 2 · a · b + b2)
- (a · a2) – (a · 2 · a · b) + (a · b2) – (b · a2) + (b · 2 · a · b) – (b · b2)
- a3 – (2a2b) + (ab2) – (ba2) + (2ab2) – b3
- a3 – 3a2b + 3b2a – b3
Eine binomische Formel kommt zum Einsatz wenn du Therme umschreiben/umformen musst oder beispielsweise Klammern auflösen musst.
Oftmals trifft man im Mathematik Unterricht dabei auf den Exponenten 2:
Die binomischen Formeln:
- Binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- Binomische Formel: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
- Binomische Formel: (a + b) · (a – b) = a2 – b2
In der Mathematik bezeichnet man ein Binom als ein sogenanntes Polynom aus 2 Gliedern. Polynome wiederum werden durch Subtraktion oder Addition miteinander verbunden.
Was ist das Pascalsche Dreieck?
Jetzt, wo wir dir die binomischen Formeln mit den Exponenten 2 bis 5 vorgestellt haben, erkennst du vielleicht schon ein Muster.
Wie wir bereits wissen, sehen binomische Formeln so aus: (a + b)n. (a + b) wird durch ein beliebiges Binom und n durch eine natürliche Zahl abgebildet.
Was ist ein Binom?
Die Glieder bei sogenannten Polynomen sind durch Addition oder Subtraktion verbunden. Bei Binomen handelt es sich um Polynome mit zwei Gliedern. Die einzelnen Glieder selbst können auch Produkte oder Ähnliches sein.
Da binomische Formeln – wie der Name schon sagt – aus zwei Gliedern bestehen, handelt es sich bei (a + b) um ein Binom. Ein Zahlenbeispiel für ein Binom ist (3a – 4b).
Neben den Binomen gibt es auch Trinome und Monome. Während Letztere nur ein Glied besitzen (z. B.: a), bestehen Trinome aus drei Gliedern (z. B.: a + b + c).
Wenn man nun für das n eine natürliche Zahl einsetzt, lässt sich folgendes Muster erkennen:
- Wenn man die (a + b)n auflöst und vereinfacht, erhält man als Ergebnis n+1 Terme.
- Betrachtet man jeden einzelnen Term, so erkennt man, dass die Summe der Exponenten immer n ergibt.
- Der erste Term a jeder Gleichung hat den Exponenten n. Dieser verringert sich mit jedem Term um 1, sodass a beim letzten Term gar nicht mehr vorkommt (entspricht also a0). Für b ist die Reihenfolge genau andersrum. Im ersten Term hat b den Exponenten 0 (ist also nicht enthalten) und beim letzten den Exponenten n.
- Der erste und letzte Koeffizient ist jeweils 1. Bis etwa zur “Hälfte” der Gleichung nimmt der Koeffizient zu und dann wieder in der umgekehrten Reihenfolge ab.
Bei diesem so entstandenen Dreieck spricht man vom Pascalschen Dreieck.
Beim Pascalschen Dreieck lassen sich unter anderem folgende Muster erkennen:
- An den äußeren beiden Seiten des Dreiecks befindet sich die Zahl 1.
- Die restlichen Zahlen entsprechen der Summer aus den beiden übrigen Zahlen, über der jeweiligen Zahl.
Hast du noch weitere Fragen zu binomischen Formeln hoch 3? Schreibe diese gerne in die Kommentare! Wir haben viel Arbeit in diesen Artikel gesteckt und freuen uns riesig, wenn du uns eine Sternebewertung und Feedback hinterlässt. Vielen Dank!
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